Abstract
<jats:p>У статті представлено комплексний математичний фреймворк для представлення чотиривимірних (4D) обертань за допомогою пар одиничних кватерніонів, що є обчислювально ефективною та геометрично інтуїтивною альтернативою традиційним матричним методам. Цей підхід, що ґрунтується на груповому ізоморфізмі SO(4)≅(SU(2)×SU(2))/Z2 , дозволяє унікально розкласти будь-яке 4D обертання на дві незалежні ізоклінні складові, кожна з яких описується одним кватерніоном. Для вирішення фундаментальної проблеми плавної анімації обертань, у роботі детально аналізується метод сферичної лінійної інтерполяції (SLERP), який зводить складне завдання інтерполяції з 6 ступенями свободи до двох незалежних та простих операцій. Наведений формалізм забезпечує практичну основу для реалізації цих концепцій у передових застосуваннях, від візуалізації 4D-об'єктів у комп'ютерній графіці до фундаментальних обчислень у теоретичній фізиці та аналізу складних кінематичних систем у робототехніці. Ці компоненти, відомі як ліве та праве ізоклінне обертання, діють незалежно на 4D-простір, спрощуючи аналіз складних рухів. Застосування SLERP окремо до кожної кватерніонної пари забезпечує найкоротший шлях на 4-вимірній гіперсфері, гарантуючи плавність та сталість кутової швидкості. Центральну роль у цьому розкладанні відіграє факторизація Келі, яка й дозволяє представити матрицю з SO(4) у вигляді добутку двох комутуючих ізоклінних операторів. Обчислювальна перевага полягає у значному зменшенні кількості операцій порівняно з матрицями 4×4, адже для композиції обертань достатньо лише двох кватерніонних множень. У комп'ютерній графіці це дозволяє створювати інтерактивні візуалізатори поліхорів та 4D-фракталів з інтуїтивним керуванням. У фізиці цей формалізм знаходить застосування в теорії поля та аналізі простору-часу, де 4D-симетрії є фундаментальними. Таким чином, запропонований підхід не лише вирішує класичні проблеми інтерполяції, але й відкриває нові шляхи для моделювання динамічних систем у чотиривимірних просторах.</jats:p>