Abstract
<jats:p>Введение. Исследование устойчивости систем с конечным числом степеней свободы под действием статических и динамических нагрузок является одной из важных проблем механики. Такие системы находят широкое применение в различных областях: строительстве, машиностроении, приборостроении, биомеханике. Например, каркас многоэтажного здания можно рассчитывать на статическую устойчивость как систему с конечным числом степеней свободы. А при сейсмических воздействиях на здание элементы конструкции необходимо проверять на динамическую устойчивость. Как систему с конечным числом степеней свободы можно рассматривать коленный сустав, соединяющий бедренную кость и кость голени. Сухожилия и мышцы исполняют роль пружин, возвращающих систему в прямолинейное состояние. На такую систему действует значительная продольная динамическая нагрузка у спортсменов при выполнении физических упражнений. Цель исследования – разработка методики расчета на устойчивость стержневых систем с конечным числом степеней свободы под действием статических и динамических нагрузок. Математическое моделирование. Рассмотрена система с конечным числом степеней свободы, на которую в продольном направлении действует статическая или динамическая сжимающая нагрузка. Особенность коленного сустава заключается в том, что он может терять устойчивость только в одном направлении. В шарнирах стержни соединяются между собой упругими пружинами, которые препятствуют потере устойчивости системы. Расчетная схема представлена в виде стержневой системы с двумя степенями свободы. В первом случае на данную систему действует продольная статическая нагрузка Р. Во втором случае рассматривается динамическое нагружение данной системы продольной силой Р(t), которая зависит от времени t. Методы исследования. 1. В ходе решения статической задачи устойчивости получена система нелинейных алгебраических уравнений для исследования устойчивости систем с конечным числом степеней свободы. Полученные уравнения являются геометрически нелинейными. Геометрическая нелинейность имеет место, когда перемещения при нагружении конструкции вызывают значительные изменения геометрии (размеров и формы) конструкции, т. е. большие деформации. Определена величина сжимающей критической силы, которая соответствует односторонней форме потери устойчивости. 2. При решении динамической задачи устойчивости получена система нелинейных дифференциальных уравнений, численное интегрирование которых выполняется методом Рунге-Кутта. Результаты исследования. В итоге решения нелинейных алгебраических уравнений (статическая задача устойчивости) построены графики зависимости нагрузки Р* от углов q1, q2 отклонений стержневой системы. В результате решения нелинейных дифференциальных уравнений (динамическая задача устойчивости) получены графики изменений угла отклонений θ в зависимости от динамического коэффициента Kд=t1. Рассмотрено влияние параметра скорости изменения сжимающей нагрузки, параметров начального несовершенства стержневой системы на критерий динамической устойчивости системы. Выводы. Разработана методика расчета на статическую и динамическую устойчивость стержневых систем с конечным числом степеней свободы. По предложенной методике выполнены расчеты системы с двумя степенями свободы под действием статической нагрузки и динамической нагрузки. Представлены результаты численных исследований. Полученные результаты расчетов сопоставлены с данными, приведенными в научной литературе.</jats:p> <jats:p>Introduction. Research into the stability of systems with a finite number of degrees of freedom under static and dynamic loads represents a key problem in mechanics. Such systems are widely used in various fields, including civil engineering, mechanical engineering, instrument engineering, and biomechanics. For example, the frame of a multi-story building can be analyzed for static stability as a system with a finite number of degrees of freedom. Under seismic loading, structural components must be assessed for dynamic stability. Similarly, the knee joint—connecting the femur and tibia—can be considered as a system with a finite number of degrees of freedom, where tendons and muscles act as springs restoring the system to its straight position. This system is subjected to significant longitudinal dynamic loading in athletes during physical exercise. The research aims to develop a methodology for stability analysis of frame systems with a finite number of degrees of freedom subjected to static and dynamic loads. Mathematical Modeling. The paper considers the system with a finite number of degrees of freedom under longitudinal static or dynamic compressive loading. A specific feature of the knee joint is that buckling can occur in only one direction. The rods are connected at hinges by elastic springs that resist system buckling. The calculation scheme is represented as a frame system with two degrees of freedom. In the first case, the system is subjected to a longitudinal static load P. In the second case, dynamic loading is applied as a longitudinal force P(t), which is time-dependent. Materials and methods. 1. In solving the static stability problem, a system of nonlinear algebraic equations was derived to investigate the stability of systems with a finite number of degrees of freedom. These equations are geometrically nonlinear. Geometric nonlinearity arises when displacements induced by loading cause significant changes in the geometry (dimensions and shape) of the structure, i.e., large deformations. The magnitude of the critical compressive force corresponding to a unilateral buckling mode was determined. 2. In solving the dynamic stability problem, a system of nonlinear differential equations was derived, with numerical integration performed using the Runge–Kutta method. Research outcomes. Solving the nonlinear algebraic equations (static stability problem) yielded load–deflection diagrams showing the relationship between the load P* and the angles θ₁, θ₂ of system deviation. Solving the nonlinear differential equations (dynamic stability problem) provided graphs of the deflection angle θ variation as a function of the dynamic coefficient K_d = t₁. The influence of the compressive load rate parameter and initial imperfection parameters of the frame system on the dynamic stability criterion was examined. Conclusions. A methodology for static and dynamic stability analysis of frame systems with a finite number of degrees of freedom has been developed. Using the proposed approach, calculations were performed for a system with two degrees of freedom under static and dynamic loading. Numerical results are presented. The obtained results are compared with data reported in the scientific literature.</jats:p>