Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title> <jats:p> In this article, we give a family of examples of algebras, showing that for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$n \ge 2$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$m \ge 0$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , there is an algebra displaying a path of <jats:italic>n</jats:italic> irreducible morphisms between indecomposable modules whose composite lies in the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$(n+m+3)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -th power of the radical, but not in the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$(n+m+4)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -th power. Such an algebra may be also supposed to be string and representation-finite. </jats:p>