On Banach subalgebras of the Dirichlet Hardy algebra $$\mathscr {H}^\infty $$ consisting of lacunary Dirichlet series

<jats:title>Abstract</jats:title> <jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the set of all Dirichlet series <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textstyle f\!=\!{{\sum \limits _{n=1}^\infty }} a_nn^{-s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> (where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$a_n\!\in \mathbb {C}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$n\!\in \! \mathbb {N}\!=\!\{1,2,3,\cdots \}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ) that converge at each <jats:italic>s</jats:italic> in the half-plane <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathbb {C}_0\!:=\!\{s\!\in \! \mathbb {C}\!:\! \text {Re}(s)\!&gt;\!0\}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mtext>Re</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Vert f\Vert _{\infty }\!=\!\sup _{s\in \mathbb {C}_0}\!|f(s)|\!&lt;\!\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Then <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a Banach algebra with pointwise operations and the supremum norm <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Vert \cdot \Vert _\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and has been studied in earlier works. The article introduces a new family of Banach subalgebras <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _{S}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . For <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$S\!\subset \! \mathbb {N}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _{S}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the set of all elements <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\textstyle {{\sum \limits _{n=1}^\infty }} a_nn^{-s}\in \mathscr {H}^\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that for all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$n\in \mathbb {N}\setminus S$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$a_n\!=\!0$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Then <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _{S}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a unital Banach subalgebra of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Vert \cdot \Vert _\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> norm if and only if <jats:italic>S</jats:italic> is a multiplicative subsemigroup of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathbb {N}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> containing 1. It is shown that for such <jats:italic>S</jats:italic> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _{S}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the multiplier algebra of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^2_S$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^2_S$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the Hilbert space of all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$ \textstyle f\!=\!{{\sum \limits _{n\in S}}} a_nn^{-s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Vert f\Vert _2\!:=\!({{\sum \limits _{n\in S}}} |a_n|^2)^{\frac{1}{2}}\!&lt;\!\infty $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . A characterisation of the group of units in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _{S}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is given, by showing an analogue of the Wiener 1/ <jats:italic>f</jats:italic> theorem for <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _{S}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . If <jats:italic>S</jats:italic> has an infinite set of generators allowing a unique representation of each element of <jats:italic>S</jats:italic> , then it is shown that the Bass stable rank of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathscr {H}^\infty _S$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is infinite. </jats:p>